Marinov Iván A hangsúly a szinte biztoson van, mert ha biztosra akarunk menni, akkor 367 embert kell összeeresztenünk. Ha ugyanis a magamfajta február 29-ei születésűeket is beleszámítjuk, 367 fő esetén már biztosan lesz egyezés. De vajon hány emberre van szükségünk, ha 50 százalék feletti valószínűséget szeretnénk? Ennek a felére, 183-ra?
A születésnap paradoxon – amellyel Steven Pinker itt is szemlézett könyvében találkoztam, de amely a valószínűségszámítással foglalkozó tankönyvekben is szerepel – szerint ennél jóval kevesebbre, mindössze 23 emberre van szükségünk. Vagyis annak az esélye, hogy 23 ember közül legalább ketten ugyanazon a napon üljék a születésnapjukat, 50 százalék feletti. Ennél is meglepőbb eredményt kapunk, ha 57 vagy ennél több embert terelünk egy helyre: ez esetben az egyezés valószínűsége már 99 százalék fölé nő.
A legegyszerűbb magyarázatot a jelenségre Vancsó Ödön egy előadásának leiratában találtam, amiben a matematikus egy 32 fős osztály esetében számolta ki az egy napon születés esélyét. Méghozzá úgy, hogy első körben megnézte a keresett esemény ellentétének a valószínűségét, vagyis hogy mennyi az esélye annak, hogy az osztályban nincs két egy napon született tanuló (mivel a két valószínűség összege 1, az egynapon születés valószínűsége ezután könnyen kiszámítható):
Fotó: sxc.hu
Támogasd az Urbanlegends.hu-t a Patreonon, a Revoluton vagy banki átutalással!
Marianna: De hogy vizsgálsz 8 esetet az istenért, mikor 9 eset van? Te sem olvastad el a wikipedia cikket látom. Eleve nekem nem tiszta hogy itt milyen eseteket vizsgálsz, mert nem írod le, hogy mit választasz elsőre.
Ami 9 esetet felsoroltam, azokat nézd végig, rájössz hogy nem 1/2-1/2 az esély.
Lehet te is abba a hibába esel, mint Emerson, hogy két különböző esetnek tekinted azt, amikor tegyük fel A alatt van az autó, A-t választod elsőre, és vagy a B-t nyitja ki neked Monty, vagy a C-t. De ezzel becsapod magadat, mert ez NEM két különböző eset, mert a probléma szempontjából lényegtelen, hogy Monty melyiket nyitja fel akkor, ha két üres közül választhat. Ez egy esetnek számít és azért, mert a kocsi mindkét „esetben” az A alatt van.
Ez az általam listázott alábbi eseteket érinti:
1. Autó: A alatt. Első kiválasztás: A. – ez esetben teljesen mindegy, hogy Monty B-t vagy C-t nyit neked, továbbra is egy esetről beszélünk.
5. Autó: B alatt. Első kiválasztás: B. – ez esetben teljesen mindegy, hogy Monty A-t vagy C-t nyit neked, továbbra is egy esetről beszélünk.
9. Autó: C alatt. Első kiválasztás: C. – ez esetben teljesen mindegy, hogy Monty B-t vagy A-t nyit neked, továbbra is egy esetről beszélünk.
Marianna:
Itt van némi magyarázat hogy hol bukik a te logikád – kissé kiegészítettem hogy egyértelműbb legyen a választás/változtatás kombináció:
1 választom nem változtatok nyitják nyertem – A-t választ, nem változtat.
2 választom változtatok erre nyitják buktam – A-t választ, változtat.
3 választom nyitják nem változtatok nyertem – A-t választ, nem változtat.
4 választom nyitják változtatok erre buktam – A-t választ, változtat.
5 nem változtatok választom nyitják buktam – B-t választ, nem változtat.
6 változtatok erre választom nyitják nyertem – B-t választ, változtat.
7 nem változtatok nyitják választom buktam – C-t választ, nem változtat.
8 változtatok erre nyitják választom nyertem – C-t választ, változtat.
Hibák:
Az 1-es és a 3-as eset ugyanaz, nem szabad külön esetként tárgyalni őket. Szintén igaz ez a 2-es és 4-es esetedre.
Tehát te azt próbáltad vizsgálni, hogy mi történik akkor, ha a kocsi mindig A alatt van, megnézted hogy mi történik akkor, ha A-t, B-t vagy C-t választod elsőre, és mi történik akkor, ha változtatsz vagy nem változtatsz. Ez 6 vizsgálandó eset. Húzzuk ki tehát a 3-as és 4-es esetet, mivel azok csupán korábban tárgyalt esetek duplikációi.
Ekkor az alábbi eseteket vizsgáljuk már csak:
1 választom nem változtatok nyitják nyertem – A-t választ, nem változtat.
2 választom változtatok erre nyitják buktam – A-t választ, változtat.
5 nem változtatok választom nyitják buktam – B-t választ, nem változtat.
6 változtatok erre választom nyitják nyertem – B-t választ, változtat.
7 nem változtatok nyitják választom buktam – C-t választ, nem változtat.
8 változtatok erre nyitják választom nyertem – C-t választ, változtat.
Változtatsz 3 esetben: 2, 6 és 8. Ebből bukta: a 2-es, nyertél: 6-os és 8-as eset. Tehát 1/3 a bukta valószínűsége, 2/3 a nyerésé.
Nem változtatsz 3 esetben: 1, 5 és 7. Ebből bukta: 5-ös és 7-es eset. Nyertél: 1-es eset. Tehát 2/3 a bukta valószínűsége, 1/3 a nyerésé.
Ha ezt megérted, akkor megértetted az összes többi esetet is, amikor a kocsi a B vagy a C alatt van.
És ismétlem: az nem számít két különböző esetnek, hogy Monty a két nem választott üres függöny mögül melyiket nyitja fel, mivel ez nem befolyásolja a dolgok kimenetelét.
Lám, lám… a paradoxon a várt hatást hozta. :D
Én már nem tudom jobban megmagyarázni azt, hogy miért éri meg változtatni. :)
Egy korrekt magyarázat:
http://hu.wikipedia.org/wiki/Bayes-t%C3%A9tel#Monty_Hall-paradoxon
És… találtam egy aranyos videót:
http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg
(A videó nagyjából azt az ötletet használja fel, hogy a váltással a nyerés esélye éppen annyi, amennyi valószínűséggel elsőként üres ajtót választottunk, azaz 2/3.)
Pityke: Igen, hozta :) Félelmetes egyébként, hogy mennyire ragaszkodnak az emberek a vélt igazukhoz még akkor is, ha előttük a magyarázat. De bevallom, volt már hogy én is estem hasonló hibába.
„kérdés: egy 100 fős teremben mennyi az esélye annak, hogy találunk legalább egy olyan embert, aki a születésnapján fog meghalni?”
Egy a háromszáz hatvanöthöz, szorozva százzal…? Azaz 1 : 3,65 …?
:-D
Csodás dolog a matematika… bár többet foglalkoztam volna vele.
déjvid: Attól függ, hogy mikor születtek ezek az emberek. Ha pl. mindegyikőjük ugyanazon a napon, akkor 100:366 (a február 29-ét ne feledjük!) a valószínűsége.
Ha mindegyikőjük különböző napon, akkor nincs összefüggés az események (mármint az egyének halálának napjai) között, így akkor 1:366.
Lehet Pityke okosabb nálam, kíváncsi vagyok mit mond.
Szerintem megvan, de lehet nem jó:
A kérdésre a válasz (a/366)*(b/366)*(c/366) és így tovább.
Ahol a változók (a,b,c, stb) az egy napon született emberek számát jelöli.
Tehát legyen mondjuk 20 ember, akik ugyanazon a napon születtek, akkor a=20, de legyen 40 másik, akik egy másik egyazon napon születtek, akkor b=40 és így tovább.
Pityke?
Vagy lehet inkább szorzás helyett össze kell adni őket… Na ezt még át kell gondolnom.
Ez talán már a puszta matematikán is túlmutat. Ha ugyanis sikerül korrelációt felfedezni a születésnap és a halálozás között (például születésnapjuk környékén az emberek többet gondolnak az elmúlásra, és öngyilkosságot követnek el, vagy ha az ünnepet övező felhajtás megterheli a szívüket), akkor a nyers matematikai képleteket korrigálni kell ezekkel a hatásokkal is.
Study: You’re Most Likely To Die On Your Own Birthday
http://newsfeed.time.com/2012/06/12/study-youre-most-likely-to-die-on-your-own-birthday/
Arra jutottam hogy ennek nincs is megoldása. Egyszerűen nincs olyan eset, amikor 100% biztonsággal állítható, hogy lesz egy olyan ember aki a születésnapján hal meg.
Mondjuk van 10 ezer ember és egyik sem hal meg a saját születésnapján és ez a szám lehet akár több millió is. Egy egyszerű példa: az 1 millió ember mindegyike január 10-én született és egyik sem hal meg január 10-én.
Az eredeti kérdés (amit Marinov kirakott) teljesen más, mert ott van olyan eset, amikor 100% biztonsággal állítható, hogy lesz két egy napon született ember (ez ugye az amikor 367 ember van a teremben).
Most látom, hogy újra van itt élet – engem meg elszólított a házimunka. :)
A gyors válaszom:
Annak a valószínűsége, hogy egy ember a saját születésnapján hal meg: 1/366.
A 100 ember lehetséges halála egymástól független esemény, ezért 1/366+1/366+…+1/366 = 100*1/366.
De még átgondolom vacsora közben, mert érdekes, hogy ezek szerint 366 embert véve már biztosan lesz valaki, aki a saját születésnapján dobja fel a bakancsot. :O
xezs: Igen, ez a legutóbbi szülinapos-meghalós feladat merőben más jellegű, mint a cikkbeli probléma.
Pityke: Ahol te most jársz én oda eljutottam kb. 4 órája, és én is ebbe az ellentmondásba ütköztem. Emiatt nem jó a gondolatmenet, mert az nem lehet igaz, hogy 366 személy esetén tuti van egyezőség.
Az biztosnak látszik, hogy egy személy esetén 1/366 a valség, ha pl. itt is egyszerűen a kedvező esetek számát osztom az összes eset számával:
Kedvező esetek száma: 366 (366 nap van egy évben, ezek mindegyikén születhet és halhat az illető)
Összes eset száma: 366*366 (366 napon születhet és 366 napon halhat meg, beleértve azokat az eseteket is, amikor ugyanaznap hal meg, mint mikor született).
Ezt egyszerűsítve kapjuk, hogy 1/366 az esély egy személy esetén.
Jelenleg ott akadtam el, hogy több személyre mi a helyzet. Ha a fenti képletet alkalmazom, akkor pl. 3 személyre az alábbit kapjuk:
(366*366*366)/(366*366*366*366*366*366)=1/(366*366*366) ez meg így szerintem hülyeség.
Szerintem az van, hogy mivel egymástól független eseményekről beszélünk, az egyes esetek között semmilyen műveletet nem végezhetünk, tehát akárhány személy esetén is marad az 1/366 valség.
Ez tulajdonképpen ugyanaz a kérdéskör, mint az, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy a következő lottóhúzáskor ugyanazokat a számokat húzzák, mint az előzőn. Mivel egymástól függetlenek az események, ezért 1:44 millió a valsége – ugyanúgy, mint bármely más számötösnek.
Igazam van?
Egyik ‘tanult kollégámnak’ feltettem a kérdést. Először ő is 100/366 eredménnyel értett egyet, és ugyanúgy a 366 ember problémája zavarta meg. :)
A következő klasszikus ötletet kaptam tőle: Nézzük meg annak valószínűségét, hogy a 100 ember közül senki nem hal meg a saját születésnapján.
Így a megoldásom:
Ekkor egy ember 365/366 valószínűséggel nem hal meg a saját szülinapján, és ekkor – hiába független eseménynek minősül a 100 ember – annak valószínűsége, hogy senki nem hal meg a saját születésnapján: (365/366)^100.
Így annak a valószínűsége, hogy valaki meghal a saját születésnapján: 1-(365/366)^100.
Ebben én most jelenleg hiszek. :)