A Benford-törvény hasznáról először 2010-ben írtam, Christoph Drösser matematikai érdekességeket bemutató könyve apropóján. Ennek egyik fejezetében azt fejtette ki a szerző, miként szúrható ki egy kozmetikázott pénzügyi mérleg vagy egy hasra ütésen alapuló számsorra épített szakdolgozat a matematika segítségével.

Könyvében Drösser felidézi Simon Newcomb matematikus megfigyelését (a logaritmustáblázatok eleje sokkal kopottabb, mint a vége) illetve Frank Benford törvényét (bizonyos számhalmazokban az első számjegyek eltérő gyakorisággal szerepelnek). E két munkával magyarázható például az a jelenség, hogy ha kinyitunk egy újságot, és megkeressük a benne előforduló összes számot (a tőzsdei árfolyamoktól az időjárás jelentésig, a sporttól a tévéműsoron át a balesetben elhunytak számáig), és felírjuk az első számjegyeket, azok 1-9-ig nem egyforma gyakorisággal fognak szerepelni (hanem körülbelül ilyen megoszlásban).

Ha valaki nem ismeri ezt a törvényt, írja Drösser, nem lesz túl sikeres adathamisító. A matematikában járatlan ember ugyanis adatait úgy szeretné minél valószerűbbnek feltüntetni, hogy a teljes számmezőn szétosztja őket – ennek köszönhetően azonban az 1-es nem elégszer, a 6-os pedig túl gyakran szerepel majd. A jelenség Drösser szerint az Enron-ügy kozmetikázott számai között is tetten érhető volt, és segítségével sok kozmetikázott vállalati mérleget sikerült már leleplezni.

De – mint azt Drösser is megjegyzi – nem mindenféle számokra teljesül a Benford-törvény. Nem érvényes például a lottószámokra, azok ugyanis egyenletesen oszlanak meg 1 és 90 között, és ugyanígy az emberek centiben mért magasságai sem mutatnak Benford-féle eloszlást (a legtöbb érték ugyanis 1-gyel kezdődik, alig akad néhány 2 méternél magasabb vagy 1 méternél alacsonyabb ember).

Bizonyítja-e a Benford-törvény a választási csalásokat?

A Qubit matematikus szerzői most azt nézték meg, mennyire húzható fel a Benford-törvény választási részeredményekre. A 2020-as amerikai választás utáni vádak egyike ugyanis az volt, hogy a Joe Bidenre leadott szavazatok néhány szavazókörben – például Chicago egyes részein – nem feleltek meg a Benford-eloszlásnak, míg Trump számai nagyjából követték azokat.

A Benford-törvény egy chicagói szavazókörben

Hosszú, magyarázó-képbehelyező anyagukat elolvashatjátok itt. Itt csak arra a kérdésre adott válaszukat idézem, miszerint várható-e, hogy egy adott megye szavazóköreiben megjelent szavazók, vagy a közülük egy adott politikusra szavazók száma követi a Benford-törvényt. Erre a szerzők – Pete Gábor, a Rényi Intézet tudományos főmunkatársa és a BME Sztochasztika Tanszék docense és Timár Ádám, a Rényi Intézet tudományos főmunkatársa – azt a választ adják, hogy semmilyen indok nincsen erre.

“Egy megye összes szavazókörének létszáma nem hasonlítható (például) egy megye összes településének lélekszámához, hiszen előbbi nem spontán fejlődés, hanem emberi mérnökösködés eredménye, ráadásul pont azt szem előtt tartva, hogy minél egyenlőbbek legyenek ezek a számok, semmiképpen sem több nagyságrenden átívelőek. (Egyébként ha szavazókörzetek helyett egy adott állam egyes településein leadott szavazatok számát nézzük, ott már a Benford eloszlás megjelenését várnánk.)” – írják.

Hogy akkor Trump adatai miért mutatnak mégis valamiféle illeszkedést? A szerzők szerint előfordulhat, hogy egy adatsor véletlenül mégis teljesíti az elvárásokat. Míg ilyenkor “véletlenül” viszonylag közel leszünk a Benford-eloszláshoz, a jelenség oka nagyon távol van a Benford-törvény valódi mozgatórugójától, a nagyságrendeken átívelő számhalmaztól, amit egyfajta növekedési folyamat generált – mutatnak rá.

Hasonló következtetésre jutott korábban az álláspontját az Azonnali.hu felületén közzétevő közgazdász, Karsánszky Ferenc. Szerinte ha megfelelő adathalmazra alkalmazzuk a Benford-törvényt, az valóban alkalmas a tömeges adathamisítás kiszűrésére. De ha az adataink nagysága és eloszlása mesterségesen korlátozott, mint ebben az esetben, ahol a választókörzetek lélekszáma sokszor 1000 fő alatti, akkor a módszer téves riasztásokat fog adni csalásokról.

Fotó: Jennifer Griffin / Unsplash

Ha tetszett a cikk, csatlakozz te is az Urbanlegends.hu-t támogató közösséghez!